Activités mathématiques

© G. Tomski, 2005

ORIENTATION GENERALE - MOTIVATION

J’ai grandi en URSS à l’époque des conquêtes spatiales (Spoutnik, Gagarine) quand les sciences physiques et mathématiques avaient un très grand prestige. Les mathématiques m’attiraient beaucoup avec le début de l’étude de la géométrie. Heureusement, dans les collèges et lycées soviétiques, on enseignait alors la géométrie comme une théorie mathématique ce qui était très étonnant pour mon esprit et j’ai renforcé mon goût des raisonnements logiques en lisant un livre sur les jeux mathématiques. Ensuite, j’ai lu un livre sur Archimède avec la description détaillée de ses travaux et de ses méthodes. En appliquant ces méthodes, j’ai trouvé quelques formules pour les aires et les volumes. Bien sûr, je connaissais l’existence de la notion d’intégrale, qui permet d’obtenir ces formules presque automatiquement, mais les démonstrations des résultats, qui étaient nouveaux pour moi, me passionnaient. J’imagine comment cela aurait pu être excitant et utile pour moi à cette époque de trouver un livre sur les problèmes mathématiques irrésolus à ma portée et c’est pourquoi j’accorde actuellement une si grande importance au développement de la Géométrie de la poursuite. D’ailleurs, les démonstrations de mes théorèmes sur la théorie élémentaire de la poursuite optimale, effectuées en 1979-91, sont à la portée des élèves des lycées. Elles auraient pu être imaginées par un élève doué.En 1966, je suis devenu étudiant de l’Université de Yakoutsk. Je ne savais pas encore que c’était notre génération qui créerait en Yakoutie les sciences mathématiques avec les Instituts et les Centres de recherches, formerait plusieurs centaines de chercheurs en mathématiques et leurs applications. Une grande surprise m’attendait : il n’y avait à cette époque que quelques docteurs en mathématiques parmi mes enseignants.

En entrant à l’Université de Yakoutsk, je pensais devenir un mathématicien qui ne cède en rien à ses collègues, formés dans les prestigieuses Universités de Moscou, de Leningrad et de Novossibirsk. Il ne restait qu’une solution : travailler beaucoup dans les bibliothèques, chercher et étudier les livres des mathématiciens célèbres. Ainsi j’ai commencé à étudier simultanément avec mes premiers manuels de calcul différentiel et intégral les livres de Bourbaki. Heureusement, il n’y avait personne pour me conseiller de reporter leur lecture pour un peu plus tard. Comme résultat, j’ai entraîné si bien mon cerveau que le programme ordinaire universitaire me paraissait très facile. J’ai décidé de commencer mes recherches par la théorie des jeux différentiels car ce nouveau domaine des mathématiques m’est apparu comme intéressant et prometteur. En effet, la théorie des jeux différentiels est née des applications militaires et techniques des mathématiques, mais elle est un outil théorique permettant de modéliser de la façon plus adéquate les problèmes des sciences sociales et économiques. Dans toute l’Union Soviétique il n’existait que quelques spécialistes à Moscou, Leningrad et Sverdlovsk (actuellement Ekaterinbourg). J’ai écrit mon mémoire consacré à la géométrie des jeux avec la «ligne de vie» à l’Université de Leningrad sous la direction de Léon Petrossian qui m’a invité à continuer mes études dans son école doctorale. Je continuais donc mes études avec les meilleurs étudiants de l’Université de Leningrad, anciens élèves du Lycée physique et mathématique auprès de cette Université, souvent vainqueurs des Olympiades internationales, décorés de la médaille d’or à la sortie du Lycée. J’ai vite remarqué leur handicap majeur : manque d’autonomie. Entourés depuis leur adolescence par les meilleurs enseignants, conseillés par les scientifiques de renommée mondiale, ils avaient perdu en partie l’habitude de se débrouiller seuls et n’avaient pas souvent assez la rage d’effectuer des recherches indépendantes et solitaires. Mes études de Bourbaki ne sont pas restées sans suite. J’ai commencé à développer l’approche axiomatique aux jeux dynamiques.

Les années 1970-1987 voyaient le développement rapide des méthodes de la théorie des jeux différentiels et leur approfondissement. J’ai eu l’honneur de participer activement à ce processus et d’être au cœur des recherches dans ce domaine en URSS. En, 1976, j’ai soutenu ma thèse de Docteur en mathématique et, en 1987, ma thèse de Docteur d’Etat sur la théorie axiomatique des jeux dynamiques et des jeux dans les systèmes généraux. En 1984 je suis devenu le chef d’une chaire à l’Université de Yakoutsk, en 1989 j’ai créé la chaire de la cybernétique mathématique, mes élèves ont commencé à soutenir leurs thèses. Je dirigeais aussi la division de l’informatique à l’Académie des sciences, ensuite j’ai fondé un Centre qui coordonnait toutes les recherches mathématiques en Yakoutie (République Sakha de la Fédération de Russie). Ainsi je dirigeais les recherches mathématiques en Yakoutie et je coordonnais des recherches pédagogiques sur JIPTO (Jeux Intellectuels de Poursuite de Tomski), inventé comme support de la vulgarisation des mathématiques.

En 1992, je suis devenu expert de l’UNESCO chargé des programmes de coopération scientifique et éducative entre l’UNESCO et la Yakoutie et autres régions du Grand Nord. J’ai participé ainsi à la création de l’Académie du Forum Nordique. Ces activités ont stimulé mes recherches pédagogiques, j’ai effectué des recherches en relations internationales dans le cadre de l’UNESCO, de l’Académie Diplomatique Internationale et de l’Université de Paris Descartes. J’ai continué, pendant mon travail à l’UNESCO, à diriger mes écoles doctorales mathématiques et pédagogiques à l’Université de Yakoutsk, à mener les recherches sur la théorie des jeux différentiels dans le cadre du Centre de la théorie des jeux de l’Université de Saint-Pétersbourg et les recherches sur la Géométrie de la Poursuite.

THEORIE AXIOMATIQUE DES JEUX DYNAMIQUES

Les théorèmes de l’existence de la valeur des jeux différentiels à somme nulle dans les systèmes décrits par les équations différentielles ordinaires ont été formulés et démontrés par N.N. Krassovski, A.I. Soubbotine, A. Friedman et d’autres vers l’année 1970. En 1971, Y.I. Ossipov (actuellement Président de l’Académie des sciences de la Fédération de Russie) a généralisé les résultats de Krassovski et Soubbotine pour les jeux dans les systèmes décrits par les équations à retard et, en 1975, pour les jeux dans certains systèmes décrits par les équations aux dérivées partielles. Il a été naturel de développer l’approche axiomatique générale au lieu de continuer les généralisations successives des résultats fondamentaux pour les jeux dans les systèmes décrits par les autres types et classes d’équations, commandés de nature diverse. J’ai commencé mes recherches dans ce domaine à partir de 1972. En 1974-1977, j’ai démontré des théorèmes généraux sur l’information des joueurs et des théorèmes de l’existence des solutions des jeux dans les systèmes généraux sans discrimination. Ces résultats ont été accueilli très favorablement par Krassovski, Ossipov et Soubbotine. Vu l’avancement de mes recherches, le professeur L.A. Petrossian, devenu doyen de la faculté des mathématiques appliquées et des processus de contrôle de l’Université de Leningrad, m’a proposé d’écrire ensemble un manuel sur la théorie des jeux dynamiques et différentiels et leurs applications. En 1977-78, j’ai travaillé à l’Université de Leningrad sur ce livre, Jeux dynamiques et leurs applications, qui est devenu le premier manuel sur les jeux différentiels et le premier livre sur les jeux dans les systèmes dynamiques généraux. En 1978-79, pendant mon stage postdoctoral à l’Université de Paris Dauphine, j’ai décidé de commencer à étudier les jeux différentiels et dynamiques dans les nouvelles classes de stratégies, plus souples que les stratégies positionnelles et les stratégies localement-programmées utilisées par les mathématiciens soviétiques à cette époque. Cette idée a été soutenue par les professeurs Pierre Bernhard et Ivar Ekeland.

Pendant les années 1978-1985, j’ai ainsi étudié des jeux dans les classes des E-stratégies, des stratégies récursives localement-programmées et des les stratégies localement-programmées généralisées, dans les différentes classes de superstratégies, etc. L’avantage de ces stratégies consiste en diminution, souvent considérable, du nombre des corrections des décisions (contrôles) des joueurs. En 1982, j’ai publié le livre Jeux dans les systèmes dynamiques (Editions de l’Université d’Irkoutsk, 161 p.).

J’ai analysé les méthodes des itérations programmées (proposée par A.G. Tchentsov, S.V. Tchistiakov, en 1976-77, pour les systèmes décrits par les équations différentielles ordinaires et de nouveaux types) et démontré la possibilité de leur utilisation pour tous les jeux dynamiques ayant des solutions dans la classe des stratégies localement-programmées. C’était un résultat inattendu, définitif et valable pour tous les systèmes dynamiques décrits par les équations à retard, par les équations aux dérivées partielles, etc. Ensuite, j’ai introduit différents types d’itérations programmées transfinies afin d’étudier les jeux différentiels dans la classe des epsilon-stratégies de Pchenithny car son résultat sur la « structure des jeux différentiels » (1969) restait encore obscur et isolé. Vers 1985, j’ai éclairci ses liens avec les autres résultats fondamentaux des jeux différentiels. J’ai aussi utilisé ces itérations transfinies pour la démonstration du fait que la fonction de valeur des jeux dynamiques satisfait toujours à l’équation de Tchentsov-Tchistiakov. C’était encore un résultat inattendu, définitif et valable pour tous les systèmes dynamiques. Pour les jeux qualitatifs j’ai développé de nouvelles constructions rétrogrades pour la construction et l’estimation des zones de captures et des zones d’esquive dans différentes classes de stratégies. J’ai utilisé mes résultats et mes constructions pour l’étude des jeux différentiels linéaires dans l’espace de Banach, des jeux différentiels à information imparfaite.

Ces résultats ont été accueillis avec intérêt par tous les spécialistes concernés qui sont devenus à cette époque très nombreux car les grandes écoles scientifiques se sont développées autour de L.S. Pontryaguine à Moscou, de L.A. Petrossian à Leningrad, de N.N. Krossovski à Sverdlovsk, de B.N. Pchenithny à Kiev et des groupes moins importants dans plusieurs autres villes. En 1985, j’ai obtenu l’habilitation de diriger des thèses. Mes missions scientifiques sont devenues de plus en plus fréquentes et durables. Pendant trois années, j’ai travaillé à l’Université de Leningrad et j’ai publié plusieurs livres.

En 1986, Soubbotine et Tchentsov, intrigués par mes derniers résultats, m’ont déclaré que : « Les chercheurs en théorie des jeux différentiels sont en majorité des spécialistes des équations différentielles et de la théorie du contrôle optimal et c’est pourquoi ils ont cessé de comprendre vos résultats devenus très compliqués et trop abstraits ». Ils m’ont recommandé de m’adresser à Y.L. Erchov, président de l’Université de Novossibirsk, le meilleur spécialiste soviétique de la théorie des ensembles et de la logique mathématique pour l’expertise de ma thèse de Docteur d’Etat avant sa soutenance. Erchov, Palutine, Taïmanov et d’autres spécialistes des fondements des mathématiques de l’Université de Novossibirsk ont été contents de voir l’utilisation efficace de l’approche axiomatique et des constructions abstraites et transfinies dans un domaine des mathématiques appliquées afin d’obtenir des résultats pour les classes des stratégies réalisables. Ils ont analysé mes démonstrations et ont certifié leur validité. En 1987, j’ai soutenu ma thèse de Docteur d’Etat Jeux dynamiques à information parfaite et leurs applications devant un grand jury composé d’une vingtaine de Docteurs d’Etats, mathématiciens des Universités et des Centres de recherches de Leningrad, Moscou, Ekaterinbourg, Kiev et Tachkent. J’ai déjà noté que mon école doctorale à l’Université de Yakoutsk existe depuis 1985. Mes élèves S.P. Kaïgorodov, T.I. Kuzmina, G.P. Permiakov ont appliqué mes méthodes à l’étude des jeux différentiels avec plusieurs joueurs et aux solutions des jeux qualitatifs. R.I. Egotov a étudié la stabilité des solutions des jeux dynamiques, S.V. Mestnikov les a appliqués aux jeux différentiels à information imparfaite. Actuellement Kaïgorodov travaille sur les applications économiques de la théorie des jeux et Mestnikov continue à étudier les jeux différentiels à information imparfaite. Ils terminent leurs thèses de Docteur d’Etat. En 1980-1987, V.A. Ulanov (Université de Saint-Pétersbourg) a développé la théorie des jeux dynamiques avec un nombre infini de personnes, basée sur ma théorie. Dans les thèses de Docteur d’Etat de V.V. Zakharov (Université de Saint-Petersbourg, 1989) et de N. Danilov (Université de Kemerovo, 1991) cette théorie est utilisée pour l’analyse des jeux dynamiques à plusieurs joueurs et leurs applications aux modèles mathématiques des problèmes économiques et écologiques, N.A. Zenkevitch (Université de Saint-Petersbourg) a appliqué mes résultats aux jeux différentiels à information imparfaite.

J’ai consacré à certaines de ces applications les livres Jeux différentiels à information imparfaite avec L.A. Petrossian, Editions de l’Université d’Irkoutsk, 1984, 188 p.) et Jeux dans les systèmes généraux (avec V. Oulanov, Editions de l’Université d’Irkoutsk, 1987, 208 p.).
En France, le développement de mes constructions rétrogrades et leurs applications, par le professeur Pierre Bernhard et ses élèves Odile Pourtallier et Alain Rapoport, ont permis d’obtenir des résultats très intéressants. Jean-Marie Nicolas, alors ingénieur chez « Thomson Sintra », division des activités sousmarines, avait vu dans ces constructions rétrogrades une méthode permettant de résoudre des problèmes opérationnels qu’il rencontrait en guerre maritime. Les résultats ont été évoqués dans les articles :

- Pierre Bernhard, Jean-Marie Nicolas, and Vincent Lapotre. About the resolution of discret pursuit games and its applications to naval warfare // 4th ISDG International Symposium on Dynamic Games and Applications, Helsinky, 1990.

- Pierre Bernhard, Jean-Marie Nicolas, and Odile Pourtallier. Poursuit games with costly information : Two formulations // 4th ISDG International Symposium on Dynamic Games and Applications, Grimentz, Switzerland,1992.

En effet, les itérations programmées et les diverses constructions rétrogrades donnent des méthodes générales de solution des jeux différentiels. Leurs applications se heurtent souvent au problème de la « malédiction de la dimension », mais on les utilise pour construire différentes stratégies et pour l’estimation du résultat de leurs utilisation.

GEOMETRIE DE LA POURSUITE

En 1983, j’ai publié avec L.A.Petrossian le livre Géométrie de la poursuite pure (Editions Naouka, 143 p.) car nous avons compris que l’ensemble des propositions géométriques des jeux différentiels présente une extension intéressante de la géométrie classique. En effet, dans la théorie de la poursuite sur le plan on utilise assez souvent les méthodes géométriques qui permettent parfois de trouver les stratégies optimales. En 1979-91, j’ai démontré quelques théorèmes sur la poursuite optimale avec des démonstrations à la portée des élèves des lycées et j’ai simplifié les démonstrations des résultats de Petrossian et de ses élèves sur la géométrie des jeux de poursuite de la capture rapide et des jeux avec la « ligne de la vie ». Depuis 1988, j’ai pu consacrer plus de temps à la Géométrie de la poursuite. En 1989, j’ai publié avec L.A.Petrossian Problèmes élémentaires de la poursuite et de l’évasion (Editions de l’Université de Yakoutsk, 80 p.) et, en 1991, Des jeux à la créativité (Editions Naouka, 125 p.). Mes élèves A.I. Golikov, S.P. Kaïgorodov, S.P. Mestnikov, V.G. Sofronov ont aussi étudié les solutions géométriques des problèmes de poursuite. En 1991, nous avons édité un livre, consacré à ces problèmes (Investigations in the geometry of simple pursuit, Yakut State University, Edited by L. Petrossian, G. Tomski, S.Mestnikov, 105 p. ). J’ai continué sans interruption ces recherches en 1992-2004, pendant mes activités internationales à l’UNESCO, et j’ai écrit Géométrie élémentaire de la poursuite et Fonctions et modélisation des jeux dynamiques (Editions du JIPTO, 2005).

VULGARISATION DES MATHEMATIQUES

Les problèmes de l’amélioration de l’image des mathématiques, leur promotion en direction de la jeunesse et du grand public, de la communication des idées mathématiques sont difficiles et demandent de nouvelles approches. A cette fin, en 1987, j’ai inventé le JIPTO (Jeux Intellectuels de Poursuite pour Tous) avec des modèles mathématiques élémentaires. En 1997, j’ai publié le livre JIPTO : Jeu de réflexion pour tous avec T. Tomski (ACL-Editions, 95 p.) et, en 2002, le livre Mathématiques du JIPTO (JIPTO International, 2002, 141 p.).

Le JIPTO est un support original et intéressant pour la découverte du langage mathématique et de la modélisation mathématique. En effet, le passage du JIPTO joué sur un plateau au JIPTO mathématique, effectué avec une étape intermédiaire de la pratique du JIPTO sur papier joué avec stylo et gabarit, facilite l’assimilation d’une notion de mathématisation. La modélisation mathématique des différentes versions du JIPTO (la notice officielle du JIPTO contient la description de 2480 versions) et la description des stratégies des joueurs donnent accès à l’acquisition de la culture mathématique. L’initiation aux mathématiques du JIPTO sert de fil conducteur utile pour orienter les discussions sur les mathématiques et la modélisation. Les mathématiques du JIPTO sont intéressantes pour les jeunes chercheurs et amateurs de mathématiques, les enseignants et les élèves doués car pour chaque version du JIPTO ils peuvent analyser les problèmes suivants :Problème du «poursuivant». Trouver une stratégie du «poursuivant» qui lui garantit un résultat convenable.Problème des «fugitifs». Trouver une stratégie des «fugitifs» qui leur garantit un résultat convenable.On peut attirer l’attention des élèves doués aux problèmes mathématiques irrésolus de la théorie du JIPTO, les initier ainsi aux vraies recherches scientifiques. C’est la méthode efficace de détection de futurs mathématiciens professionnels. La solution de ces problèmes demande beaucoup plus d’efforts qu’un problème proposé aux participants d’une olympiade qui réclame de l’ingéniosité mais un élève bien entraîné peut en principe résoudre ce problème en une ou deux heures. En utilisant le lexique du sport, je compare les Olympiades mathématiques aux courses de vitesse sur petite distance et la recherche mathématique au marathon. On commence naturellement par l’étude des stratégies simples et par l’estimation des résultats qui peuvent être obtenus avec ces stratégies. Ce qui donne la première expérience de recherche. L’analyse plus profonde peut donner de nouveaux résultats mathématiques intéressants. L’existence de dizaines de milliers d’amateurs du JIPTO justifie les recherches approfondies sur les propriétés des modèles mathématiques des versions les plus intéressantes. Notons qu’André Deledicq pense que le JIPTO « semble avoir toutes les qualités pour devenir un vrai «classique» comme les échecs, les dames, le jacquet etc. »
En 1993-2004, j’ai été le seul expert des mathématiques à l’UNESCO. Mon approche à la vulgarisation des mathématiques a été appuyée par les spécialistes des « mathématiques vivantes » : G. Godefroy et P.- L. Hennequin (association « Animath »), P. Duchet et P. Audin ( Math en Jean ), M. Criton ( FFJM – Fédération française des jeux mathématiques ) A. Deledicq ( ACL-Editions / Kangourou des mathématiques ) et autres.

TRAVAUX EN COURS ET PROJETS DE PUBLICATIONS

Mikhaël I. Gromov, membre de l’Académie des sciences, dit : « Le volume, la profondeur et la complexité structurelle de l’ensemble des mathématiques actuelles rendent absolument impératif de trouver de nouvelles approches pour communiquer les découvertes d’un domaine aux chercheurs d’un autre domaine, et aussi pour augmenter énormément l’accès des non-mathématiciens aux idées mathématiques… Cela va demander de nouveaux programmes d’enseignement et un très gros effort de la part des mathématiciens pour exposer à un public plus large les idées et les techniques fondamentales des mathématiques, en particulier celles développées durant les dernières décennies. »
Durant les trente dernières décennies j’ai participé activement au développement des idées et des techniques fondamentales de la théorie des jeux différentiels. Ainsi j’ai effectué un un travail de recherche significatif en mathématiques pures et appliquées. Mes activités pédagogiques et internationales dans le cadre de l’UNESCO ne m’ont pas éloigné de ces recherches.

J’ai trouvé un support ludique, le JIPTO, qui facilite énormément l’explication aux non-mathématiciens des idées de la modélisation mathématique et de la théorie des jeux différentiels. Je commence actuellement à travailler sur plusieurs livres : Introduction aux mathématiques supérieures et aux jeux différentiels, Les jeux de simulation et la théorie des jeux, Mathématiques vivantes, scolaires et professionnelles. Ces livres mèneront leurs lecteurs des problèmes ludiques au cœur des thèmes actuels des recherches dans le domaine de la théorie des jeux dynamiques et différentiels. Je continuerai à analyser un grand nombre des modèles mathématiques des jeux de simulation et des jeux de la poursuite afin de tester les nouvelles classes de solutions et à vérifier leur stabilité dynamique (stabilité temporaire, time-consistency), utile pour le développement de la théorie des jeux comme d’un ensemble d’outils théoriques permettant de formaliser les problèmes réels posés dans les sciences sociales et économiques, et de les attaquer de manière systématique.